Список вопросов и ответов к коллоквиуму по математическому анализу.

1. Подпоследовательность. Сходимость на и на . Частичный предел, предельная точка, их эквивалентность.

Определение. Пусть {a_n} — последовательность. Возьмием последовательность из натуральных чисел {n_k}, тогда последовательность {b_k = a_nk} называется подпоследовательностью последовательности {a_n}.

Определение. Дельта-окретсностью точки a ▒ B(a) называется множество {x : |x - a| < }. Дельта-окретсностью точки a = +(-) B(a) называется множество . Проколотой дельта-окретсностью точки a B'(a) называется B(a) \{a}.

Определение. Последовательность {a_n} сходится на () если a () : N : n , n > N a_n B(a).

Предложение. Последовательность, сходящаяся на сходится и на . Обратное не верно. Доказательство очевидно.

Определение. Предельная точка последовательности — это такая точка, в окрестности которой содержится бесконечно много членов последовательности.

Определение. Частичный предел последовательности — это предел некоторой еие подпоследовательности.

Т. Всякая предельная точка является частичным пределом и наоборот.

Доказательство: Возьмием предельную точку a. Рассмотрим еие -окрестность: в ней найдется хотя бы один член последовательности a_n1. Рассмотрим вдвое меньшую окрестнойсть: в ней найдется хотя бы один член последовательности, отличный от a_n1 — a_n2. И так далее. Полученная подпоследовательность сходится к a. Теперь возьмием частичный предел. В любой его окрестности содержатся все члены подпоследовательности, начиная с некоторого, а значит их бесконечно много и он является предельной точкой последовательности.

2. Теорема Вейерштрасса. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Теорема Вейерштрасса. Любая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.

Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство обеих теорем: Если последовательность ограничена, то у нее есть нижняя грань A и верхняя грань B. Рассмотрим отрезок [A; B]. Он содержит бесконечно много членов последовательности. Обозначим его как [a₁; b₁]. За [a₂; b₂] возьмием ту половину отрезка [a₁; b₁], которая содержит бесконечно много членов последовательности. Будем продолжать этот процесс. Получим последовательность вложенных отрезков, которая, по принципу полноты Кантора, имеет общую точку c. Для любого найдется отрезок длины меньше, чем , а значит этот отрезок целиком попадает в -окрестность точки c, следовательно B(c) содержит бесконечно много членов, а значит точка c — предельная. Раз точка c предельная, то она является частичным пределом, а значит существует сходящаяся к ней подпоследовательность.

3. Верхний и нижний предел, их существование. Сходимость в случае их равенства.

Определение. Нижним (верхним) пределом называется наименьший (наибольший) из частичных пределов.

Т. Верхний и нижний пределы существуют.

Доказательство: Будем доказывать существование верхнего предела. Рассмотрим множество частичных пределов последовательности {a_n}. Обозначим его A. Если оно не ограничено сверху, то + — частичный предел (докажите самостоятельно, что это предельная точка). Если A ограничено сверху, то sup A = a. Покажем, что a — предельная точка. Возьмием произвольное > 0. В любой его -окрестности найдется элемент множества A (то есть некоторая предельная точка) В -окрестности этой точки найдется бесконечно много элементов последовательности, но все они попадут в -окрестность a, следовательно a — предельная точка.

Т. Верхний и нижний пределы равны тогда и только тогда, когда последовательность сходится.

Доказательство: Пусть последовательность сходится. Тогда нетрудно показать, что любой еие частичный предел равен еие пределу (для этого достаточно в определении предела взять N таким же). Тогда множество частичных пределов состоит их одного элемента. Далее очевидно. Теперь пусть верхний и нижний пределы равны. Значит частичный предел только один. Обозначим его a. Допустим последовательность не сходится, значит a не является пределом, а значит : N n , n > N : a_nB(a). Возьмием это , возьмем a_n1B(a), найдется n₂ > n₁, что a_n2B(a), найдется n₃ > n₂, и так далее. Получим подпоследовательность {a_nk}, причем a не является еие предельной точкой (по построению). Но по теореме Больцано-Вейерштрасса она имеет частичный предел (либо она не ограничена и имеет частичный предел ▒). Но еие частичный предел является частчным пределом последовательности, а значит он равен a. Противоречие.

4. Внутренние, граничные, предельные, изолированные точки. Открытые и замкнутые множества. Критерий замкнутости множества. Конечные и бесконечные объединения и пересечения открытых и замкнутых множеств.

Определение. Внутренней точкой называется такая точка множества, которая принадлежит ему вместе с некоторой своей -окрестностью.

Определение. Граничной точкой называется такая точка, что в любой еие -окрестности найдутся как точки, принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему.

Определение. Предельной точкой множества называется такая точка, что в любой еие -окрестности найдется бесконечно много точек множества.

Определение. Изолированной точкой множества называется такая точка множества, что в некоторой еие проколотой окрестности нет ни одной отчки множества.

Определение. Множество A называется открытым, если все его точки — внутренние. Множество A называется замкнутым, если его дополнение \ A — открытое множество.

Т. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

Доказательство: Пусть множество A замкнуто. Тогда его дополнение \ A — открыто. Пусть точка a — предельная, но не принадлежит A, тогда она принадлежит \ A, но поскольку оно открыто, то она принадлежит ему с некоторой окрестностью, а значит в этой окрестности нет ни одной точки из A, что противоречит тому, что a — предельная точка. Теперь пусть все предельные точки A принадлежат A. Тогда все точки не из A не предельные, значит для каждой из них найдется окрестность, содержащая лишь конечное число точек из A, а раз так, то найдется и окрестность, вовсе не содержащая точек из A (покажите это самостоятельно), то есть точка принадлежит \ A вместе с некоторой окрестностью, то есть \ A — открыто, а значит A — замкнуто.

Определение. Объединением множеств A называется множество {a : : a A}.

Определение. Пересечением множеств A называется множество {a : : a A}.

Предложение. Любое объединение открытых множеств открыто.

Доказательство: Действитльно, любая точка объединения принадлежит некоторому множеству A вместе с окрестностью, а значит она принадлежит и объединению вместе с той же окретсностью.

Предложение. Конечное пересечение открытых множеств открыто.

Доказательство: Действительно, точка принаделжит каждому множеству вместе с некоторой окрестностью, а поскольку множеств конечно, то из этих окрестностей можно выбрать наименьшую, которая будет входить в каждое множество, а значит и в пересечение).

Однако бесконечное пересечение открытых множеств _n = {0} — не открыто.

Предложение. Любое пересечение замкнутых множеств замкнуто.

Предложение. Конечное объединение замкнутых множеств замкнуто.

Докажите самостоятельно, используя: \ A = ( \ A) и \ A = ( \ A).

Однако бесконечное объединение замкнутых множеств _x(0;1){x} = (0; 1) — не замкнуто.

5. Компактные множества. Компактность отрезка, некомпактность интервала. Теорема Лебега.

Определение. Множество M называется компактным, если из любой системы открытых множеств {A}, такой что A M, можно выбрать конечное число множеств {A_k}_k=1ⁿ, чтобы _k=1ⁿA _k M.

Т. Гейне-Бореля. Отрезок [0; 1] компактен.

Доказательство: Рассмотрим произвольную систему открытых множеств, покрывающую отрезок. Допустим, что не существуют конечного подпокрытия. Тогда для какой-то из половин отрезка тоже не существует конечного подпокрытия, построим последовательность вложенных отрезков, каждый из которых не имеет конечного подпокрытия. Эти отрезки имеют общую точку. Для этой точки есть конечное подпокрытие из одного открытого множества, в которое она входит вместе со своей -окрестностью. Найдем отрезок длины меньше, чем — он тоже входит в это открытое множество, а значит имеет конечное подпокрытие. Противоречие.

Предложение. Интервал (0; 1) не компактен.

Доказательство: Рассмотрим такую систему: _n. Объединение всех этих множеств дает весь интервал (0; 1). Однако конечное объединение дает только интервал , где n — некоторое натуральное число. Легко видеть, что эти интервалы не равны.

Теорема Лебега. замкнутое ограниченное множество компактно.

Доказательство: Идея доказательства такая же как и для теоремы Гейне-Бореля. Для доказательства того, что общая точка отрезков принадлежит нашему множеству, надо вспомнить, что замкнутое множество содержит все свои предельные точки, а общая точка отрезков предельная — это следует из построения.

6. Отображения. Инъективные, сюръективные и биективные отображения. Тождественное отображение. Композиция отображений. Обратное отображение. Критерий его существования.

Определение. Отображением f : A B называется правило, по которому каждому элементу a A ставится в соответствие единственный элемент b B.

Определение. Отображение называется инъективным, если разные элементы переходят в разные. Отображение называется сюръективным, если в множестве B каждый элемент имеет прообраз. Отображение называется биективным, если оно инъективно и сюръективно.

Определение. Тождественное отображение id : A A задается правилом id(a) = a.

Предложение. Тождественное отображение является инъективным, сюръективным и биективным. Очевидно.

Определение. Пусть есть отображения f : A B и g : B C. Композицией g of называется отображение h : A C, задаваемое правилом h(a) = g(f(a)).

Теорема. h o (g o f) = (h o g) o f.

Доказательство: Обозначим = g o f, = h o g. Рассмотрим произвольный элемент a. Получаем: (h o )(a) = h((a)) = h((g o f)(a)) = h(g(f(a))), ( o f)(a) = (f(a)) = (h o g)(f(a)) = h(g(f(a))). Получаем одно и то же, значит h o = o f.

Определение. Отображение g : B A называется обратным к f : A B, если g o f = id и f o g = id.

Теорема. Отображение имеет обратное тогда и только тогда, когда оно биективно.

Доказательство: Пусть отображение f : A B биективно. Тогда каждый элемент b B имеет прообраз. Значит есть отображение g : B A, ставящее в соответствие каждому b B некоторый его прообраз. Очевидно, что тогда f o g = id. Покажем, что g o f = id. Пусть g(f(a))a. Но ведь f(g(f(a))) = f(id(a)) = f(a). Получается противоречие с инъективностью f. Пусть теперь f имеет обратное отображение, т.е. f o g = id и g o f = id. Докажем, что f инъективно: пусть a₁a₂ и f(a₁) = f(a₂), тогда g(f(a₁)) = g(f(a₂)), но это значит, что a₁ = a₂. Теперь докажем, что f сюръективно: для каждого элемента b существует g(b), причем f(g(b)) = b, т.е. g(b) — прообраз b.

7. Равномощность множеств. Не более чем счетные множества. Счетность и . Объединение не более чем счетного количества не более чем счетных множеств.

Определение. Множества называются равномощными, если существует биекция из одного в другое.

Определение. Множество называется конечным, если оно пустое, или равномощно множеству {1, 2, 3,...,n}. Множество называется счетным, если оно равномощно . Множество называется не более чем счетным, если оно конечно или счетно.

Предложение. счетно.

Доказательство: f : такое: f(n) = + ^. (-1)ⁿ. f^-1(n) = 2.

Предложение. Любое подмножество не более чем счетного множества не более чем счетно.

Доказательство: Подмножество не более чем счетного множества или конечно — тогда оно не более чем счетно, или бесконечно — тогда само множество тоже бесконечно, а значит счетно. Установим биекцию между множеством и . Тогда каждый элемент подмножества соответствует некоторому натуральному числу. Выберем из них тот, который соответствует минимальному натуральному числу из имеющихся. Поставим ему в соответствие число 1. Выберем из остальных опять же соответствующий минимальному из оставшихся натуральных чисел. Поставим ему в соответствие число 2. И так далее. Таким образом мы построим биекцию между некоторым (произвольным) подмножеством нашего множества и .

Предложение. Множество рациональных чисел счетно.

Предложение. Не более чем счетное объединение не более чем счетных множеств не более чем счетно.

Доказательство обоих предложений. Каждому рациональному числу мы можем поставить в соответствие пару натуральных чисел, первое из которых соответствует числителю (мы умеем строить биекцию ), а второе знаменателю. Каждому элементу объединения мы можем поставить в соответствие пару натуральных чисел, первое из которых — "номер" множества, а второе "номер" элемента в множестве. При этом не обязательно каждой паре будет что-то соответствовать. То есть мы построили биекцию между нашим множеством и подмножеством множества пар натуральных чисел. Теперь построим взаимно-однозначное соответствие множества таких пар и множества натуральных чисел . Оно показано на рисунке. Значит множество таких пар счетно. То есть наше множество равномощно подмножеству счетного множества, т.е. оно не более чам счетно. Теперь для доказательства первого предложения осталось сказать, что множество рациональных чисел бесконечно, а тогда оно счетно.

8. Равномощность интервала и прямой. Равномощность отрезка и интервала. Теорема о том, что любое бесконечное множество содержит счетное подмножество. Равномощность и \ .

Предложение. (0; 1) ~ .

Доказательство: Построим биекцию f : (0; 1) : f(x) = tg . Проверьте самостоятельно, что это отображение действительно будет биекцией.

Предложение. [0; 1] ~ (0; 1).

Доказательство: Построим биекцию f : [0; 1] (0; 1). Определим f(0) = ,f(1) = . Для всех x вида ,n f(x) = , для всех остальных f(x) = x. Это отображение биективно, т.к. разные элементы переходят в разные, и в каждую точку интервала что-то переходит.

Теорема. Любое бесконечное множество имеет счетное подмножество.

Доказательство: Пусть A — бесконечное множество. Тогда в нем есть хотя бы один элемент a₁. Возьмием его в наше подмножество с номером 1. Т.к. A бесконечно, в нем есть элемент, отличный от a₁ — a₂. Возьмием его в наше подмножество с номером 2. Т.к. A бесконечно, в нем есть элемент, отличный от a₁ и a₂ — a₃. Возьмием его в наше подмножество с номером 3. И так далее. Таким образом мы построим счетное подмножество.

Предложение. ~ \ .

Доказательство: \ имеет счетное подмножество A. Т.к. счетно, то QA ~ . Отобразим биективно A в A. Тогда, доопредилив это отображение на \ ( A) как f(x) = x получим биекцию: \ .

9. Несчетность множества бесконечных последовательностей из нулей и единиц. Континуум. Доказательство континуальности отрезка. Декартовы произведения не более чем счетных и континуальных множеств.

Теорема. Множество бесконеных последовательностей из 0 и 1 не счетно.

Доказательство: Допустим оно счетно и мы построили биекцию его и . Построим такую последовательность из 0 и 1: На первом месте у нее стоит 1, если в первой последовательности на первом месте 0, и наоборот. На втором месте у нее стоит 1, если во второй последовательности на втором месте 0, и наоборот. На третьем месте у нее стоит 1, если в третьей последовательности на третьем месте 0, и наоборот. И так далее. Полученная последовательность отличается от каждой из выписанных последовательностей, а значит мы выписали не все. Противоречие.

Определение. Мощность множества бесконечных последовательностей из 0 и 1 называется континуум ().

Предложение. Отрезок имеет мощность континуум.

Доказательство: Построим биекцию f между отрезком [0; 1] и [0; 1] \ M, где M — множество чисел от 0 до 1 вида . Это можно сделать, поскольку [0; 1] ~ , M ~ и ~ \ . Теперь каждой последовательности из нулей и единиц можно поставить в соответствие некоторую точку отрезка. Правда некоторым последовательностям будут соответствовать одинаковые точки, поэтому последовательности, оканчивающиеся на 0111... мы пока использовать не будем. Тогда каждой использованной последовательности соответствует единственная точка отрезка. Применим к отрезку отображение f. Теперь можно и неиспользованным последовательностям поставить в соответствие вновь освободившиеся точки отрезка.

Предложение. Декартово произведение не более чем счетных множеств не более чем счетно.

Доказательство: См. вопрос 7, доказательство счетности .

Предложение. Декартово произведение континуальных множеств континуально.

Доказательство: Отобразим каждое из множеств в множество последовательностей из нулей и единиц. Теперь надо биективно отобразить множество пар последовательностей в множество последовательностей. Для этого возьмем пару последовательностей (₁₂₃...; ₁₂₃...), где _i и _i могут быть 0 или 1, и отобразим еие в последовательность ₁₁₂₂.... Очевидно, что полученное отображение биективно.

10. Сравнение мощностей. Теорема Кантора. Множества, более мощные, чем . Теорема о том, что не существует множества максимальной мощности.

Определение. A B (A не более мощно, чем B), если существует вложение A B. Если A B и A B, то A B (A менее мощно, чем B).

Теорема Кантора. Пусть R(A) — множество всех подмножеств A. R(A) A.

Доказательство: То, что существует вложение A R(A) — очевидно (f(a) = {a}). Пусть существует биекция f : A R(A). Построим подмножество B A следующим образом: a A если a f(a), то aB, если af(a), то a B. Т.к. f — биекция, то существуют прообраз для B — некоторое b A, такое что f(b) = B. Тогда получаем, что если b B, то по построению bB, а если bB, то по построению b B. Противоречие.

По теореме Кантора множество всех подмножеств более мощно чем .

Теорема. Не существует множества максимальной мощности. Предположим противное. Пусть множество X имеет максимальную мощность. Рассмотрим множество R(X). Его мощность строго больше мощности X. Противоречие.

11. Сравнимость множеств по мощности. Теорема Кантора-Бернштейна. Транзитивность и .

Теорема. Всегда верно, что A B или B A.

Доказательство: Нужно показать, что существует инъекция хотя бы в одну сторону. Возьмем произвольное отображение f из A в B. Если существуют a₁ и a₂, такие, что f(a₁) = f(a₂), и существует b, для которого нет прообраза, то переопределим f(a₂) = b. Проведем эту операцию для всех таких троек a₁,a₂,b. Полученное отображение либо инъективно, либо сюръективно. Если отображение инъективно, то мы все доказали. Если оносюръективно, то рассмотрим отображение из B в A, ставящее в соответствие прообраз (любой). Оно будет инъективно.

Теорема Кантора-Бернштейна. A B и B A A ~ B.

Доказательство: В одну сторону утверждение очевидно (биекция является инъекцией). Докажем в другую сторону. Пусть есть два вложения f : A B, g : B A. Обозначим за A₁ множество тех a A, которые не имеют прообраза для отображения g. и за B₁ множество тех b B, которые не имеют прообраза для отображения f. Для всех n обозначим за A_n множество {a A : b B_n-1 : g(b) = a}, или кратко g(B_n-1), и за B_n аналогично f(A_n-1). Теперь рассмотрим множества A₀ = A\ _nA_n и B₀ = B \ _nB_n. Покажем теперь, что a A₀ f(a) B₀. Действительно, пусть f(a) B \ B₀, то есть f(a) B_n, но тогда a A_n-1. Противоречие. Также надо показать, что ограничение отображения f : A₀ B₀ — биекция (достаточно показать, что оно сюръективно). Допустим, что некоторый элемент b B₀ не имеет прообраза в A₀. Но в A он прообраз имеет, т.к. множество тех b B, которые не имеют прообраза — B₁ не пересекается с B₀. Значит этот прообраз лежит в A_n, но тогда b B_n-1. Противоречие. Значит A₀ ~ B₀. Теперь покажем, что A \ A₀ ~ B \ B₀. По построению A₁ ~ B₂, A₃ ~ B₄ и вообще A_2n-1 ~ B_2n, аналогично B_2n-1 ~ A_2n. По построению A₁,A₂,A₃,... не пересекаются и B₁,B₂,B₃,... не пересекаются, поэтому _nA_n ~ _nB_n. Теперь очевидно, что и A ~ B.

Предложение. A B и B C A C.

Доказательство: Если A B, то существует инъекция f : A B. Аналогично существует инъекция g : B C. Очевидно, что их композиция g o f будет инъекцией A C.

Предложение. A B и B C A C.

Доказательство: Очевидно, что A B A B, B C B C, поэтому верно, что A C. Докажем, что A C. Предположим, что A ~ C. Тогда, т.к. A B получаем, что C B. Т.к. B C, то из Теоремы Кантора-Бернштейна заключаем, что B ~ C, что противоречит тому, что B C.