16 января.

Первым номером будешь, скорей всего, ты. То есть некогда звонкий кутила, разбойник и друг дорогой. А теперь - незнакомец брадатый.

М. Щербаков

Листок 7. Последовательности.

Обозначения. При записи утверждений используют следующие сокращения (кванторы): ∀ — читается "для любого" или "для всех" (for All); ∃ — читается "существует" (Exist); ∃! — читается "существует единственное"; : или | — читается "такое, что".

Например, запись ∀ x ∃ y : y > x читается так: "для любого x существует y такой, что y > x".

Определение. Последовательностью (обозначается {a_{n}}) называется упорядоченный бесконечный набор элементов (a_{1}, a_{2}, a_{3}, …), называемых членами последовательности. В дальнейшем все последовательности следует считать числовыми если явно не указано иное. Последовательность можно задать одним из следующих способов:

1. Формулой общего члена, например: a_{n} = n^{2};

2. Рекуррентной формулой: a_{n} = a_{n−1} + 1, a_{1} = 1;

3. Описанием: a_{n} — мощность множества всех подмножеств n-элементного множества.

1. Дана последовательность a_{1} = 0, a_{2} = 1, a_{n} = a_{n−1} − a_{n−2}. Найдите a_{91}, a_{2004}.

2. Дана последовательность a_{1} = 2, a_{n} = 3a_{n−1} + 1. Докажите, что a_{n} = \frac{5 · 3^{n−1} − 1}{2}.

3. Выведите рекуррентную формулу для последовательности {a_{n}}, если:

а) a_{n} = 3n − 2;  б) a_{n} = 2^{n};  в) a_{n} = n^{2};  г) a_{n} = \frac{n − 1}{n + 1}.

4. Выведите формулу общего члена для последовательности, заданной рекуррентно:

а) a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{n} = 5a_{n−1} − 6a_{n−2}; б) a_{1} = 2, a_{n} = \frac{n + 2}{n}a_{n−1};

в) a_{1} = a, a_{n} = a_{n−1} + d (арифметическая прогрессия с первым членом a и разностью d); г) b_{1} = b, b_{n} = b_{n−1}q, b ≠ 0, q ≠ 0 (геометрическая прогрессия с первым членом b и знаменателем q).

5. Выведите формулу для суммы n первых членов а) арифметической прогрессии; б) геометрической прогрессии;

6. Сумма n первых членов последовательности выражается формулой S_{n} = 5n^{2}. Докажите, что это арифметическая прогрессия, и найдите ее первый член и разность.

7. Могут ли в одной арифметической прогрессии встретиться числа 1, \sqrt{2}, 3?

8. Могут ли в одной геометрической прогрессии встретиться числа а) 8, 12, 27; б) 1, 2, 5?

Определение. Последовательность {a_{n}} называется нестрого возрастающей (убывающей), если a_{i} ⩽(⩾) a_{i+1}. Если a_{i} <(>) a_{i+1}, то последовательность называется строго возрастающей (убывающей). Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.

Определение. Если ∃c > 0 : ∀n ∈ ℕ |a_{n}| ⩽ c, то последовательность называется ограниченной.

9. а) Найдите необходимые и достаточные условия того, что геометрическая прогрессия ограничена. б) Тот же вопрос для арифметической прогрессии.

10. Является ли последовательность \{a_{n}\}, a_{n} = \frac{n!2^{n}}{n^{n}} возрастающей или убывающей?

11. Может ли последовательность быть одновременно а) ни возрастающей, ни убывающей; б) нестрого возрастающей и нестрого убывающей; в) строго монотонной и ограниченной?

12. Исследуйте на монотонность и ограниченность: а) a_{n} = n;  б) a_{n} = (−1)^{n};  в) a_{n} = \frac{1}{n};
г) a_{n} = n^{(−1)^{n}};  д) a_{n} = \frac{n − 1}{n + 1};  е) a_{1} = 10, a_{n} = 5 − \frac{4}{a_{n−1}} ;  ё*) a_{1} = 1, a_{n} = a_{n−1} + \frac{1}{a_{n−1}^{2}} ;
ж) a_{1} = \sqrt{2}, a_{n} = \sqrt{2 + a_{n−1}};  з) a_{n} = \sqrt{n} − \sqrt{n − 1};  и) a_{n} = 2^{−n};  й*) a_{n} = 2^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{2}.

Сдать до 30 января.