15 декабря.

Тем, кто хорошо знаком с пятым измерением,

ничего не стоит раздвинуть помещение до желаемых пределов М. Булгаков

Листок 6. Рациональные числа.

Определение. Рациональным числом будем называть всякое число, представимое в виде дроби \frac{m}{n}, где m ∈ ℤ, n ∈ ℕ. Такие представления рациональных чисел называются рациональными дробями. Множество рациональных чисел принято обозначать ℚ. Определение. Пусть p = \frac{a}{b}, q = \frac{c}{d}. Если ad = bc, то p = q, а такие рациональные дроби \frac{a}{b} и \frac{c}{d} называются эквивалентными.

1. Докажите, что всякое рациональное число имеет бесконечно много представлений.

2. Являются ли следующие дроби эквивалентными:

а) \frac{2}{3} и \frac{468}{702}; б) \frac{1}{2} и \frac{2}{1}; в) \frac{a}{b} и \frac{2a}{2b}; г) \frac{1}{2} и \frac{a}{2a}?

3. а) Определите на множестве рациональных дробей операции сложения и умножения. б) Покажите, что действия над эквивалентными дробями дают эквивалентные результаты.

4. Используя введенные операции вычислите:

а) \frac{4}{6} + \frac{8}{9}; б) \frac{3}{4} · \frac{8}{6}; в) \frac{2}{3} + \frac{2}{3}; г) \frac{6}{11} · \frac{44}{1}.

5. Введите операцию деления, обратную операции умножения (это значит, что если x = y : z, то x · z = y.) Определение. Рациональная дробь \frac{m}{n} называется несократимой, если НОД (m, n) = 1. 6! Докажите, что всякое рациональное число имеет единственное представление в виде несократимой дроби.

\underline{Примечание.} Теперь можно считать, что ℚ — это просто множество несократимых рациональных дробей.

7. а) Докажите, что ℕ ⊆ ℚ, ℤ ⊆ ℚ.

б) Покажите, что для целых чисел введенные вами сложение и умножение совпадают с обычными.

8. Докажите, что среди рациональных чисел нет числа, квадрат которого равен 2.

9. Пусть n ∈ ℕ. Докажите, что \sqrt{n} — либо натуральное число, либо не является рациональным.

10. Докажите, что:

а) \sqrt{\frac{2}{3}} ∉ ℚ; б) если m, n ∈ ℚ, то \sqrt{\frac{m}{n}} ∈ ℚ ⇔ \sqrt{mn} ∈ ℚ;

в) \sqrt{2} + \sqrt{3} ∉ ℚ; г) если m, n, \sqrt{m} + \sqrt{n} ∈ ℚ, то \sqrt{m}, \sqrt{n} ∈ ℚ;

Сдать до 29 декабря.