10 ноября.

Для начала займемся общей теорией четных простых чисел. Фольклор.

Листок 4. Делимость и делители. Простые числа.

\underline{Примечание.} В этом листочке все строчные латинские буквы обозначают целые числа.

1! Пусть m ∈ ℤ, n ∈ ℕ. Докажите, что найдутся такие числа q, r ∈ ℤ, что m = nq + r и 0 ⩽ r < n. Определение. Тогда q называется неполным частным, а r — остатком от деления m на n. Определение. В случае, если r = 0, говорят что m делится на n, или m кратно n. Обозначение: m ··· n.

2. Найдите остатки от деления на 13 чисел: 39, −39, 90, −90, −1.

3. Найдите все такие n, что остаток от деления 100 на n равен 6. Определение. Если из утверждения A следует утверждение B, то пишут A ⇒ B.

4. Верно ли, что а) a ··· c, b ··· c ⇒ (a ± b) ··· c; б) a ··· c, b ··· c ⇒ (a ± b) ··· c; в) a ··· c, b ··· c ⇒ (a ± b) ··· c.

5. а) Докажите, что остаток суммы (разности) равен остатку суммы (разности) остатков. б) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для произведения.

6. Известно, что a ··· 30 и a ··· 44. Верно ли, что a ··· 33? a ··· 24?

7. Предложите и обоснуйте признаки делимости на а) 2, 5, 10; б) 3, 9; в) 4, 8; г) 11.

8. Найдите остаток от деления:

а) 8^{111} на 7; б) 11^{12} на 12; в) 4^{133} на 9; г) 10n^{3} + 4n^{2} + 7 на n+1 для каждого n. Определение. Число p ∈ ℕ, p > 1 называется простым, если p делится только на 1 и на p. Число n ∈ ℕ называется составным, если n > 1, и n не является простым.

\underline{Примечание.} Везде далее (в этом и последующих листочках) p — простое число (если не указано иное).

9. Найдите все p, такие, что будут простыми а) p + 1;  б) p + 8, p + 28;  в) p^{2} − 4.

10. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 не является составным числом.

11. Докажите, что для любого n найдутся n идущих подряд составных чисел. \underline{Подсказка.} Укажите их. 12! Докажите, что простых чисел бесконечно много.

Сдать до 1 декабря.