22 сентября 2008 года.

Если у вас нету дома, Пожары ему не страшны...

Листок 2. Множества.

Множество — это совокупность, набор элементов.

\underline{Обозначения.} Множества обозначают большими латинскими буквами: A, B, C, … Z. Элементы множеств обозначаются маленькими латинскими буквами: a, b, c, … z. Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут a ∈ A, если a не принадлежит A, пишут a ∉ A. Множества задаются:

1) Перечислением: X = {1, 2, 3, …}, X ={а, б, … я};

2) Свойствами: X = {x : x^{2} < 5}, X = {x | x^{2} < 5} (читается: x, такие что x^{2} < 5)

Определение. Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента.

\underline{Обозначения.} ℕ = \{1, 2, 3, …\} — множество натуральных чисел, ℤ — множество целых чисел, ∅ — пустое множество.

Определение. Множество A является подмножеством множества B, если каждый элемент множества A является элементом множества B. Пишут: A ⊆ B. (В частности A ⊆ A, ∅ ⊆ A.)

1. Верно ли, что:

а) 2 ∈ \{x : 91x^{4} − 2004x − 1 = 0\};  б) −33 ∈ \{x : \frac{x^{3} − 1}{x^{2} + 2} < 2\};  в) 3 ∈ \{\frac{7n − 2}{2n + 1} : n ∈ ℕ\};
г) 1, 5 ∈ \{\frac{n}{n^{3} + 1} : n ∈ ℕ\};  д) 41 ∈ \{x^{2} + y^{2} : x, y ∈ ℤ\};  е*) 0 ∈ \{2m^{4} − n^{4} + 2 : m, n ∈ ℕ\}?

2. Пусть A = {x : |x − 2| < 3}, B = {x : |x − 1| < c}. При каких c: а) A ⊆ B; б) B ⊆ A?

Определение. Множество A равно множеству B, если B ⊆ A и A ⊆ B. В этом случае пишут A = B.

Определение. Множество A ∩ B = {x : x ∈ A и x ∈ B} называется пересечением, множество A ∪ B = {x : x ∈ A или x ∈ B} — объединением, множество A \ B = {x : x ∈ A и x ∉ B} — разностью, множество AΔB = {x : или x ∈ A или x ∈ B, но не A и B одновременно} — симметрической разностью множеств A и B.

Определение. Множество A называют конечным, если оно содержит лишь конечное число элементов. В противном случае множество A — бесконечно. Мощность конечного множества A (обозначается #A или |A|) — это число элементов A.

3. Найдите A ∩ B, A ∪ B, A \ B, AΔB, если A = {3, 5, 7, 11, 13, 17}, B = {4, 7, 10, 13}.

4. Верно ли, что A = B, где а) A = \{x : \sqrt{x^{2} + 2x} = \sqrt{24}\}, B = \{x : \sqrt{x}\sqrt{x + 2} = \sqrt{24}\}; б*) A = {x^{2} − y^{2} : x, y ∈ ℤ}, B = ℤ \ {4n − 2 : n ∈ ℤ}?

5. Докажите:

а) (A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C);  б) A\(B∪C) = (A\C)∩(B\C);  в) AΔB = (A\B)∪(B\A);
г) (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C);  д) A\(B∩C) = (A\C)∪(B\C);  е) AΔB = (A∪B)\(A∩B);

ё) (AΔB)∩C = (A∩C)Δ(B∩C); ж) (A∩B)ΔC = (AΔC)∩(BΔC); з) (AΔB)ΔC = AΔ(BΔC).

\underline{Обозначение.} m ··· n означает, что m делится на n, m ··· n означает, что m не делится на n.

6. а) Найдите A ∩ B, если A = {6n : n ∈ ℤ}, B = {4n : n ∈ ℤ}; б) Найдите A ∪ B, если A = {2n : n ∈ ℤ, n ··· 9}, B = {3n : n ∈ ℤ, n ··· 15};

в) Найдите A \ B, если A = \{x : \frac{x − 3}{2x^{2} + x + 1} > 0\}, B = \{x : x^{3} + x + 1 ⩽ 0\}.

7. Докажите: A ∩ B = A ∪ B ⇔ A = B.

8. Конечны или бесконечны следующие множества:

а) {n ∈ ℕ : n^{2} = m^{2} + k^{2}, m, k ∈ ℕ}; б) {n ∈ ℕ : n^{2} = m^{2} + k^{2}, m, k ∈ ℕ, k < 6}?

9. Мощность множества A равна 5. Найдите мощность:

а) множества всех подмножеств множества A;

б) множества всех подмножеств множества A, состоящих из трех элементов. 10*. Найдите мощность множества из пункта б) 8-й задачи.

Сдать до 6 октября.