3 апреля.

Не стоит путать причину и следствие. Особенно не стоит путать следствие.

А. Кнышев

Листок 11. Арифметика пределов.

1. Докажите, что если {a_{n}}, {b_{n}} — бесконечно малые, {c_{n}} — ограниченная, то а) {a_{n} + b_{n}}, б) {a_{n}c_{n}}, в) {a_{n}b_{n}} — бесконечно малые.

2. а) ∀ n a_{n} ≠ 0 и lim_{n→∞} a_{n} = A ≠ 0. Докажите, что lim_{n→∞} \frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{A}.

б) Что можно сказать о lim_{n→∞} \frac{1}{a_{n}}, если A = 0?

3. (Арифметика пределов)! Докажите:

а) ∀ c lim_{n→∞} ca_{n} = c lim_{n→∞} a_{n}; б) lim_{n→∞}(a_{n} ± b_{n}) = lim_{n→∞} a_{n} ± lim_{n→∞} b_{n}; в) lim_{n→∞} a_{n}b_{n} = lim_{n→∞} a_{n} lim_{n→∞} b_{n};

4. Докажите, что сходящаяся последовательность есть сумма постоянной и бесконечно малой.

5. Докажите Теорему о двух милиционерах:

Если lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} c_{n} = a и ∃ N ∀ n > Na_{n} ⩽ b_{n} ⩽ c_{n}, то {b_{n}} — сходится и lim_{n→∞} b_{n} = a.

6. Докажите, что если lim_{n→∞} a_{n} = 0 и ∀ n |b_{n}| ⩽ |a_{n}|, то {b_{n}} — бесконечно малая последовательность.

7. С помощью теоремы о двух милиционерах найдите lim_{n→∞} \frac{sin n!}{2\sqrt[3]{n} + 1}

8. Верно ли, что одна из последовательностей {a_{n}}, {b_{n}} бесконечно малая, если lim_{n→∞} a_{n}b_{n} = 0?

9. Найдите пределы: а) \frac{(n − 5)^{2}(3n + 2)^{3}}{(2n − 11)^{5}} ;  б) \frac{\sqrt{n − 1} − 2}{\sqrt{n + 5} + 5};  в) \frac{(−2)^{n} + 3^{n}}{(−2)^{n+1} + 3^{n+1}} ;
г) cos \frac{1}{n};  д) 1 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}} ;  е) \frac{n^{2}}{2^{n}};  ё) \{(2 + \sqrt{3})^{n}\} (\{a\} — дробная часть a)

\underline{Указание.} Докажите, что последовательность (2+\sqrt{3})^{n}+(2−\sqrt{3})^{n} задается формулой a_{0} = 2, a_{1} = 4, a_{n} = 4a_{n−1}−a_{n−2}.

10! Докажите Теорему Вейерштрасса: Ограниченная монотонная последовательность сходится.

11. Докажите, что последовательность имеет предел и найдите его:

а) a_{1} = 10, a_{n} = 5 − \frac{4}{a_{n−1}} ;  б) a_{1} = 0, a_{n} = \frac{25}{10 − a_{n−1}} ;  в) a_{1} = \sqrt{2}, a_{n} = \sqrt{2 + a_{n−1}}.

12*. Докажите, что последовательность a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} имеет предел.

\underline{Указание.} Докажите, что последовательность возрастает и ограничена сверху.

Предел этой последовательности обозначают e, он равен 2,718281828459045... Определение. Последовательность {a_{n}} называется фундаментальной, или последовательностью Коши, если ∀ ε ∃ N : ∀ m, n > N |a_{m} − a_{n}| < ε.

13. Докажите, что любая фундаментальная последовательность ограничена. 14! Докажите критерий Коши:

а) Если последовательность фундаментальна, то она имеет предел.

\underline{Указание.} Придется использовать аксиому полноты или одно из эквивалентных ей утверждений.

б) Если последовательность имеет предел, то она фундаментальна.

15. Исследуйте на сходимость с помощью критерия Коши:

а) a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n}. б) a_{n} = \frac{sin 1}{2} + \frac{sin 2}{2^{2}} + … + \frac{sin n}{2^{n}}.

16*. Крокодил Гена знает четыре арифметических действия и умеет находить предел. Помогите ему вычислить \sqrt{a}. 17*. Теперь помогите ему найти \sqrt[n]{a}.

Сдать до 24 апреля.