3 апреля.

Если ничто другое не помогает, прочтите, наконец, инструкцию.

А. Кнышев

Листок 10. Предел последовательности.

Определение. Число A называется пределом последовательности {a_{n}} (обозначается A = lim_{n→∞}a_{n}), если ∀ δ > 0 ∃ N ∀ n > N |a_{n} − A| < δ. В этом случае говорят, что последовательность {a_{n}} сходится (стремится) к A (a_{n} ⟶ A, a_{n} ⟶_{n→∞} A). В случае, если такого A не существует, говорят, что последовательность расходится. Определение. Последовательность {a_{n}} называется бесконечно малой, если lim_{n→∞} a_{n} = 0. Последовательность {a_{n}} называется бесконечно большой, если ∀ C > 0 ∃ N ∀ n > N |a_{n}| > C. В этом случае пишут lim_{n→∞} a_{n} = ∞ (и говорят, что последовательность расходится к бесконечности). 1! Может ли последовательность иметь более одного предела?

2. Докажите, что следующие последовательности бесконечно малы:

а) 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, …; б) 1, −1, \frac{1}{2}, −\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, −\frac{1}{3}, …; в) 0, 0, 0, …; г) a_{n} = \frac{n + 100}{n^{2}}.

3. Пусть последовательность {a_{n}} такова, что ∀ n a_{n} ≠ 0. Докажите, что:

а) если a_{n} — бесконечно малая последовательность, то \{\frac{1}{a_{n}} \} — бесконечно большая.

б) если a_{n} — бесконечно большая последовательность, то \{\frac{1}{a_{n}} \} — бесконечно малая.

4. Докажите: а) lim_{n→∞} \sqrt{n} = ∞;  б) lim_{n→∞} \sqrt[n]{a} = 1;  в) lim_{n→∞}(\sqrt{n + 1}−\sqrt{n}) = 0;  г*) lim_{n→∞} \sqrt[n]{n} = 1.

5. Докажите, что последовательность, имеющая предел, ограничена. Верно ли обратное?

6. Докажите, что если lim_{n→∞} a_{n} = a, то lim_{n→∞} |a_{n}| = |a|.

7. Докажите, что lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} a_{n+m} или обе последовательности одновременно расходятся.

8. Докажите: а) ∃ N ∀ n > N a_{n} ⩾ 0 ⇒ lim_{n→∞} a_{n} ⩾ 0; б) ∃ N ∀ n > N a_{n} ⩾ b_{n} ⇒ lim_{n→∞} a_{n} ⩾ lim_{n→∞} b_{n};

в) lim_{n→∞} a_{n} > lim_{n→∞} b_{n} ⇒ ∃ N ∀ n > N a_{n} > b_{n}; г) ∀ c ≠ lim_{n→∞} a_{n} ∃ ε > 0 ∃ N ∀ n > N |a_{n} − c| > ε;

д) Верно ли, что ∃ N ∀ n > N a_{n} > b_{n} ⇒ lim_{n→∞} a_{n} > lim_{n→∞} b_{n}?

9. Найдите пределы последовательностей:

а) \frac{n − 1}{n + 4};  б) \frac{n^{2} + 20n + 900}{4n^{2} − 79};  в) \sqrt{n^{2} + 1} − n;  г) \frac{2 cos n − 3 sin n}{n};  д) n^{2} + sin n;

Сдать до 17 апреля.