5 сентября 2008 года.

Всякое решение плодит новые проблемы. Закон Мерфи.

Листок 1. Алгебраические выражения.

Определение. Модуль (абсолютное значение) действительного числа (обозначается |a|):

|a| = \{ \begin{matrix}a, & если & a ⩾ 0, \\ −a, & если & a < 0. \end{matrix}

1. При каких x:

а) |x| = −1;  б) |x| = 3;  в) |x − 1| > 1;  г) ||x − 1| + |x + 1|| ⩽ 2?

2. При каких b возможны равенства:

а) |a| = b; б) |a| = −b; в) |b| = −b; г) |b| = −b^{2}?

3. Докажите, что:

а) a ⩽ |a|; б) −a ⩽ |a|; в) |a| = | − a|; г) |a − b| = |b − a|.

4. Докажите, что а) |a + b| ⩽ |a| + |b|; б) |a + b| = |a| + |b| тогда и только тогда, когда ab ⩾ 0;

в) |a − b| ⩽ |a| + |b|;  г) |a − b| ⩾ |a| − |b|;  д) |a − b| ⩾ ||a| − |b||;  е) |a + b| ⩾ ||a| − |b||.

5. Докажите, что: а) |ab| = |a||b|; б) |abc| = |a||b||c|.

6. Выражение |x − 1| можно записать без знака модуля: |x − 1| = \{ \begin{matrix}1 − x, & если & x ∈ (−∞; 1], \\ x − 1, & если & x ∈ [1; +∞). \end{matrix}

Запишите без знака модуля:

а) |x + 3|;  б) |x − 2| − 2|x + 2|;  в) ||x| − 1|;  г) |x + 4| + |x + 1| + |x| + |x − 1|.

7. Запишите при помощи знака модуля, что:

а) по крайней мере одно из чисел a, b, c, d не равно нулю;

б) по крайней мере два из чисел a, b, c различны.

8. Найдите корни уравнения: а) |x| − 2|x + 1| + 3|x + 2| = 0; б) |x^{2} + 4x − 5| + |2 − 2x^{2}| = 0.

9. Упростите: а) \frac{191919}{454545}; б) \frac{111122221111}{123456787654321}.

Деление многочлена на многочлен ”столбиком“. Проиллюстрируем этот метод на примере деления многочлена 2x^{4} − 3x^{3} + 4x^{2} − 5 на x^{2} − 1.

2x^{4} − 3x^{3} + 4x^{2}  − 5  x^{2} − 1
2x^{4}  − 2x^{2}  2x^{2} − 3x + 6
− 3x^{3} + 6x^{2}  − 5
− 3x^{3}  + 3x
6x^{2} − 3x − 5
6x^{2}  − 6
− 3x + 1

Таким образом, получаем, что 2x^{4} − 3x^{3} + 4x^{2} − 5 = (2x^{2} − 3x + 6) (x^{2} − 1) + (−3x + 1) . Заметим, что степень остатка всегда строго меньше степени делителя.

10. Разделите 12x^{4} + 4x^{3} + 9x + 3 на 3x − 2.

11. Разложите на множители: а) x^{4} − 4x^{3} + 8x^{2} − 16x + 16; б) x^{4} + 17x^{2} + 81.

12. Найдите корни уравнения: x^{3} + 3x^{2} − 3x − 1 = 0.

13* Упростите: (\frac{1 − x}{x^{2} + x^{3} − x^{4}} − \frac{x^{3} + x − 2}{x^{5} − x^{3} − 3x^{2} − x}) : (\frac{1 + x}{x^{3} + x^{4} + x^{5}} − \frac{1 − x + x^{2}}{x^{3}} ).

Сдать до 26 сентября.