1 декабря 2009 года.

Листок 14. Подпоследовательности.

Определение. Пусть имеется последовательность a_{n}. Рассмотрим строго возрастающую бесконечную последовательность натуральных чисел {n_{k}}_{k=1}^{∞}. Последовательность {b_{k} = a_{n_{k}}}_{k=1}^{∞} называется подпоследовательностью последовательности {a_{n}}.

1. Докажите, что если последовательность имеет предел, то любая её подпоследовательность имеет предел.

2. Правда ли, что:

а) последовательность имеет предел, если какая-то её подпоследовательность имеет предел; б) любая её подпоследовательность имеет предел; в) Бесконечное число её подпоследовательностей имеют предел?

Определение. Расширенной числовой прямой \overline{ℝ} называется множество \{−∞\} ∪ ℝ ∪ \{+∞\}.

B′_{δ}(−∞) = \{x ∈ ℝ : x < −\frac{1}{δ}\}; B′_{δ}(+∞) = \{x ∈ ℝ : x > \frac{1}{δ}\};

B_{δ}(−∞) = B′_{δ}(−∞) ∪ {−∞}; B_{δ}(+∞) = B′_{δ}(+∞) ∪ {+∞}.

Определение. Пределом последовательности a_{n} на \overline{ℝ} будем называть такое A ∈ \overline{ℝ}, что ∀ δ > 0 ∃ N : ∀ n ⩾ N, n ∈ ℕ a_{n} ∈ B_{δ}(A). 3! Проверьте, что данное определение совпадает с ранее введенным в случае A ∈ ℝ.

Определение. Точка A ∈ \overline{ℝ} называется предельной точкой последовательности a_{n}, если в любой её окрестности содержится бесконечно много членов последовательности.

Определение. Точка A ∈ \overline{ℝ} называется частичным пределом последовательности a_{n}, если найдется такая подпоследовательность a_{n_{k}}, что A является пределом a_{n_{k}}. 4! Чем отличается частичный предел от предельной точки?

5. Найдите все частичные пределы:

а) a_{n} — количество делителей числа n; б) a_{n} — сумма цифр в десятичной записи числа n; в) a_{n} — остаток от деления n^{2} на 16; г) a_{n} — остаток от деления n^{3} на 13;

6! а) Теорема Вейерштрасса. Любая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку (на ℝ).

б) Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся (на ℝ) подпоследовательность.

\underline{Примечание.} Если в условиях задачи заменить ℝ на \overline{ℝ}, то условие ограниченности можно отбросить.

7! а) Последовательность сходится на \overline{ℝ} ⇔ существует единственная предельная точка на \overline{ℝ}. б) Последовательность сходится на ℝ ⇒ существует единственная предельная точка на ℝ. в) Верно ли обратное?

8. Существует ли такая последовательность, что множеством её частичных пределов является: а) \{a; b\}; б) ℕ; в) \overline{ℕ} = ℕ ∪ \{+∞\}; г) \overline{ℚ} = \{−∞\} ∪ ℚ ∪ \{+∞\}; д*) \overline{ℝ}.

9! Докажите, что множество частичных пределов последовательности имеет максимальный и минимальный элемент.

Определение. Верхним пределом называется наибольший из частичных пределов последовательности (обозначается \overline{lim}_{n→∞} a_{n}), нижним пределом называется наименьший из частичных пределов последовательности (обозначается \underline{lim}_{n→∞} a_{n}).

10! lim_{n→∞} a_{n} = a ⇔ \overline{lim}_{n→∞} a_{n} = \underline{lim}_{n→∞} a_{n} = a.

11. Найдите множество частичных пределов, а также верхний и нижний предел:

а) a_{n} = \frac{1}{n};  б) a_{n} = 1 + (−1)^{n};  в) a_{n} = (2 + (−1)^{n})^{n};  г) a_{n} = − [\frac{n^{2} + 21}{n − 0, 5}];
д) a_{n} = \{\sqrt{n}\};  е) a_{n} = \{αn\}, α ∈ ℚ;  ё*) a_{n} = \{πn\};  ж*) a_{n} = sin n;  з*) a_{n} = tg n.

Сдать до 25 декабря.