20 октября.

Учитывая глупость большинства людей, широко распространенная точка зрения

будет скорее глупа, чем разумна. Б. Рассел

Листок 13. Множества на числовой прямой.

В данном листочке все множества будут рассматриваться как подмножества числовой прямой ℝ.

Определение. Внутренней точкой множества M будем называть такой элемент m ∈ ℝ, что найдется некоторая его δ-окрестность, целиком лежащая в M.

Определение. Граничной точкой множества M будем называть такой элемент m ∈ ℝ, что в любой δ-окрестности m найдутся точки, как принадлежащие M, так и не принадлежащие M.

Определение. Предельной точкой множества M будем называть такой элемент m ∈ ℝ, что в любой δ-окрестности m найдется бесконечно много точек, принадлежащих M.

Определение. Изолированной точкой множества M будем называть такой элемент m ∈ M, что в некоторой его проколотой δ-окрестности не содержится точек, принадлежащих M.

1. Найдите все внутренние, граничные, предельные и изолированные точки множества:

а) ℕ;  б) \{\frac{1}{n} : n ∈ ℕ\};  в) ℚ;  г) ℝ \ ℚ;  д) [0; 1];  е) (0; 1);  ё) ∅.

2. Каким определениям эквивалентны следующие утверждения:

а) в любой δ-окрестности точки m найдется точка множества M;

б) в любой проколотой δ-окрестности точки m найдется точка множества M;

в) в любой δ-окрестности точки m найдется по крайней мере две разных точки множества M; г) в любой δ-окрестности точки m не найдется ни одной точки множества M.

Определение. Множество M называется открытым, если все его точки — внутренние. Множество M называется замкнутым, если его дополнение ℝ \ M — открытое.

3. Докажите, что множество замкнуто, если и только если оно содержит все свои предельные точки.

4. Какие из следующих множеств открытые, какие замкнутые:

1) [0; 1]; 2) [0; 1); 3) (0; 1); 4) {0; 1}; 5) ℚ; 6) ℝ \ ℚ; 7) ℝ; 8) ∅? 5! Будет ли открытым множеством:

а) объединение конечного числа открытых множеств;

б) пересечение конечного числа открытых множеств;

в) объединение любого числа открытых множеств;

г) пересечение любого числа открытых множеств.

д) Сформулируйте и проверьте аналогичные утверждения про замкнутые множества.

6. Докажите, что точка x_{0} является предельной точкой множества M тогда и только тогда, когда найдется последовательность x_{n} точек множества M, не совпадающих с x_{0} такая, что lim_{n→∞} x_{n} = x_{0}.

7. Докажите, что любое ограниченное бесконечное множество имеет хотя бы одну предельную точку.

Определение. Множество M называется компактным, если из любого его покрытия открытими множествами ( ⋃_{λ∈Λ} A_{λ} ⊇ M) можно выбрать конечное подпокрытие (т.е. найдутся такие λ_{1}, …, λ_{n},

что ⋃_{k=1}^{n} A_{λ_{k}} ⊇ M).

8. Являются ли компактными множества:

а) {0; 1} б) [0; 1]; в) (0; 1); г) [0; 1); д) [0; +∞); 9*. Докажите Теорему Лебега: Замкнутое ограниченное множество компактно.

Сдать до 30 октября.