2 октября.

Листок 12. Ряды.

Определение. Сумма ∑_{k=1}^{n} a_{k} = a_{1} + a_{2} + … + a_{n} называется конечным числовым рядом. Определение. Сумма ∑_{n=1}^{∞} a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + … называется бесконечным числовым рядом. Определение. Число S_{n} = ∑_{k=1}^{n} a_{k} называется n-й частичной суммой ряда ∑_{n=1}^{∞} a_{n}. Определение. Если последовательность частичных сумм {S_{n}} имеет предел S, говорят, что ряд ∑_{n=1}^{∞} a_{n} сходится и S — его сумма (пишут ∑_{n=1}^{∞} a_{n} = S). Иначе говорят, что ряд ∑_{n=1}^{∞} a_{n} расходится. 1! Критерий Коши сходимости ряда. Ряд ∑_{n=1}^{∞} a_{n} сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм {S_{n}} фундаментальна. Запишите в кванторах и докажите.

2. а) Докажите, что если ∑_{n=1}^{∞} |a_{n}| сходится, то и ∑_{n=1}^{∞} a_{n} сходится; б) Верно ли обратное?

3. Исследуйте на сходимость ряды: а) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} ; б) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n}; в) ∑_{n=1}^{∞} q^{n}; г) ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n^{2}} · (cos 91^{∘})^{n}. 4! Необходимое условие сходимости. Докажите, что если ∑_{n=1}^{∞} a_{n} сходится, то lim_{n→∞} a_{n} = 0.

5. Исследуйте на сходимость ряд ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{2}}{28282828n^{2} + 91 cos(n^{57})}.

6. Пусть все a_{n} > 0. Докажите, что ряд ∑_{n=1}^{∞} a_{n} сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм {S_{n}} ограничена.

7. Пусть ∀ n a_{n} ⩾ b_{n} > 0. Докажите, что из сходимости ряда ∑_{n=1}^{∞} a_{n} следует сходимость ряда ∑_{n=1}^{∞} b_{n}, а из расходимости ряда ∑_{n=1}^{∞} b_{n} следует расходимость ряда ∑_{n=1}^{∞} a_{n}.

8. {a_{n}} — монотонная бесконечно малая последовательность. Докажите, что ряд ∑_{n=1}^{∞}(−1)^{n}a_{n} сходится.

\underline{Указание.} Рассмотрите последовательности S_{2n} и S_{2n−1}, используйте теорему Вейерштрасса.

9! Пусть ∑_{n=1}^{∞} a_{n} = A, ∑_{n=1}^{∞} b_{n} = B. A и B — действительные числа. Докажите, что:

а) ∑_{n=1}^{∞} a_{n} ± b_{n} сходится и его сумма равна A ± B; б) ∑_{n=1}^{∞} c · a_{n} сходится и его сумма равна c · A. в) Верно ли, что ∑_{n=1}^{∞} a_{n}b_{n} сходится? г) Верно ли, что сходится ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{b_{n}}?

10. Исследуйте на сходимость: а) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n}; б) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{3 + b^{n}}; в) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(n!)^{2}}{(2n)!}; г) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{k(k + 1)}}.

11. Исследуйте следующие ряды на сходимость и в случае сходимости найдите их суммы:

а) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{2^{n}}; б) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{2} + 3n + 1}{(n + 2)!}; в) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(n + 1)\sqrt{n} + n\sqrt{n + 1}}.

12*. Исследуйте ряд на сходимость и найдите его сумму: ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}. Напомним, что 0! = 1.

Сдать до 16 октября.

\underline{Указание 1.} Используя бином Ньютона представьте (1 + \frac{1}{n})^{n} в виде 1 + \frac{1}{1!}(…) + \frac{1}{2!}(…) + … + \frac{1}{n!}(…).

\underline{Указание 2.} Попробуйте найти предел (…) при n → ∞.