3 сентября.

Всего две вещи действительно бесконечны:

вселенная и человеческая глупость. Впрочем, насчет вселенной я не уверен.

А. Эйнштейн

Листок 11-bis. Общая теория четных простых чисел.

Определение. Напомним, что пределом последовательности {a_{n}} называется такое число A, что ∀ δ ∃ N :∀ n > N|A − a_{n}| < δ.

Определение. Напомним, что последовательность {a_{n}} называется бесконечно малой, если

lim_{n→∞} a_{n} = 0.

1. Вспомните, какие последовательности называются сходящимися. Сходятся ли последовательности

a_{n} = n, a_{n} = \frac{1}{n}, a_{n} = (−1)^{n}, a_{n} = \frac{(−1)^{n}}{n}? Есть ли среди них бесконечно малые?

2. Докажите, что сходящаяся последовательность есть сумма постоянной и бесконечно малой.

3. (Арифметика пределов)! Докажите:

а) ∀ c lim_{n→∞} ca_{n} = c lim_{n→∞} a_{n};  б) lim_{n→∞}(a_{n} ± b_{n}) = lim_{n→∞} a_{n} ± lim_{n→∞} b_{n};  в) lim_{n→∞} a_{n}b_{n} = lim_{n→∞} a_{n} lim_{n→∞} b_{n};

4. Докажите Теорему о двух милиционерах:

Если lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} c_{n} = a и ∃ N ∀ n > Na_{n} ⩽ b_{n} ⩽ c_{n}, то {b_{n}} — сходится и lim_{n→∞} b_{n} = a.

5. С помощью теоремы о двух милиционерах найдите lim_{n→∞} \frac{sin n!}{2\sqrt[3]{n} + 1}

6. Найдите пределы: а) \frac{(n − 3)^{2}(2n + 1)^{3}}{(n − 488)^{5}} ;  б) \frac{\sqrt{n + 1} − 1}{\sqrt{n − 1} + 1};  в) \frac{(−2)^{n} + 3^{n}}{(−2)^{n+2} + 3^{n+2}} ;
г) cos \frac{1}{n};  д) 1 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}} ;  е) \frac{n^{2}}{2^{n}};  ё) \{(2 + \sqrt{3})^{n}\} (\{a\} — дробная часть a)

\underline{Указание.} Докажите, что последовательность (2+\sqrt{3})^{n}+(2−\sqrt{3})^{n} задается формулой a_{0} = 2, a_{1} = 4, a_{n} = 4a_{n−1}−a_{n−2}.

7! Докажите Теорему Вейерштрасса: Ограниченная монотонная последовательность сходится.

8. Докажите, что последовательность имеет предел и найдите его:

а) a_{1} = 10, a_{n} = 5 − \frac{4}{a_{n−1}} ;  б) a_{1} = 0, a_{n} = \frac{25}{10 − a_{n−1}} ;  в) a_{1} = \sqrt{2}, a_{n} = \sqrt{2 + a_{n−1}}.

9*. Докажите, что последовательность a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} имеет предел.

\underline{Указание 1.} Примените теорему Вейерштрасса.

\underline{Указание 2.} Докажите, что последовательность a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n+1} убывает.

Предел этой последовательности обозначают e, он равен 2,718281828459045...

Определение. Последовательность {a_{n}} называется фундаментальной, или последовательностью Коши, если ∀ ε ∃ N : ∀ m, n > N |a_{m} − a_{n}| < ε.

10. Докажите, что любая фундаментальная последовательность ограничена.

11. Докажите критерий Коши:

а) Если последовательность фундаментальна, то она имеет предел.

\underline{Указание.} Придется использовать аксиому полноты или одно из эквивалентных ей утверждений.

б) Если последовательность имеет предел, то она фундаментальна.

12. Исследуйте на сходимость с помощью критерия Коши:

а) a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{n}. б) a_{n} = \frac{sin 1}{2} + \frac{sin 2}{2^{2}} + … + \frac{sin n}{2^{n}}.

13*. Крокодил Гена знает четыре арифметических действия и умеет находить предел. Помогите ему вычислить \sqrt{a}. 14*. Теперь помогите ему найти \sqrt[n]{a}.

Сдать до 25 сентября.